Bilinéarité et opérations

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) et tout réel \(k\) ,

• \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
  
• \((\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\)
  
• \(\vec{u}\cdot (k\vec{v})=(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
  

Démonstration  (idée dans un repère orthonormé)

Si l'on se place dans un repère orthonormé, l'expression du produit scalaire avec les coordonnées permet de vérifier chacune des égalités proposées.

Propriétés  Identités remarquables

Pour tous vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) ,

• \((\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2\) soit \(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\lVert^2\)
  
• \((\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2\) soit \(\lVert\vec{u}-\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\lVert^2\)
  
• \((\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2=\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2\)
  

Démonstration

Il suffit de développer chacune des trois expressions en utilisant les propriétés déjà étudiées pour réduire et simplifier les résultats.